Question

若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x和y，（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是a≤

若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x和y，（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是a≤376a≤376．

Answer 1

：∵正实数x，y满足xy=x+y+3，
∴3+x+y=xy≤(

x+y

2

)2，当且仅当x=y时取等号．
令x+y=t＞0，则t²-4t-12≥0，
解得t≥6．
即x+y的取值范围是[6，+∞）．
由（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，∴a≤[(x+y)+

1

x+y

]min=(t+

1

t

)min（t≥6）．
令g（t）=t+

1

t

(t≥6)，则g′(t)＝1?

1

t2

＝

t2?1

t2

＞0，因此函数g（t）在t∈[6，+∞）上单调递增．
∴g（t）_min=6+

1

6

＝

37

6

．
∴a≤

37

6

．
∴实数a的取值范围是a≤

37

6

．
故答案为：a≤

37

6

．