Question

已知函数f（x）=x 2 -4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．（Ⅰ）若y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围

已知函数f（x）=x 2 -4x+a+3，g（x）=mx+5-2m．（Ⅰ）若y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x 1 ∈[1，4]，总存在x 2 ∈[1，4]，使f（x 1 ）=g（x 2 ）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）：因为函数f（x）=x 2 -4x+a+3的对称轴是x=2， 所以f（x）在区间[-1，1]上是减函数， 因为函数在区间[-1，1]上存在零点， 则必有： f(1)≤0 f(-1)≥0 即 a≤0 a+8≥0 ，解得-8≤a≤0， 故所求实数a的取值范围为[-8，0]． （Ⅱ）若对任意的x 1 ∈[1，4]，总存在x 2 ∈[1，4]， 使f（x 1 ）=g（x 2 ）成立，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集． f（x）=x 2 -4x+3，x∈[1，4]的值域为[-1，3]，下求g（x）=mx+5-2m的值域． ①当m=0时，g（x）=5-2m为常数，不符合题意舍去； ②当m＞0时，g（x）的值域为[5-m，5+2m]，要使[-1，3]?[5-m，5+2m]， 需 5-m≤-1 5+2m≥3 ，解得m≥6； ③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5-m]，要使[-1，3]?[5+2m，5-m]， 需 5+2m≤-1 5-m≥3 ，解得m≤-3； 综上，m的取值范围为（-∞，-3]∪[6，+∞）．