Question

数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（Ⅱ）用数学归纳法

数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

（本小题满分8分）
解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=s₁=2-a₁，所以a₁=1．
当n=2时，a₁+a₂=s₂=2×2-a₂，所以a2＝

3

2

．
同理：a3＝

7

4

，a4＝

15

8

．
由此猜想an＝

2n?1

2n?1

(n∈N*)…（5分）
（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a₁=1，右边=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时，结论成立，即ak＝

2k?1

2k?1

，
那么n=k+1时，a_k+1=s_k+1-s_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1，
所以2a_k+1=2+a_k，所以ak+1＝

2+ak

2

＝

2+ 2k?1 2k?1

2

＝

2k+1?1

2k

，
这表明n=k+1时，结论成立．
由①②知对一切n∈N^*猜想an＝

2n?1

2n?1

成立．…（8分）