Question

若各项都是实数的数列从第二项起，每一项与它前一项的平方差是同一常数，则称该数列为等方差数列，这个常

若各项都是实数的数列从第二项起，每一项与它前一项的平方差是同一常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，前n项和为Tn，并且an2＝T2n?1，求通项an；（Ⅱ）若数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且an2＝2n+1bn．2n?Sn＞m?2n?2an2对?n∈N*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）an2＝T2n?1＝

(2n?1)(a1+a2n?1)

2

＝

(2n?1)?2an

2

＝(2n?1)?an
∴a_n[a_n-（2n-1）]=0
∴a_n=2n-1，或a_n=0…（4分）
（Ⅱ）由{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，即{an2}为首项为4，公差为2的等差数列，
∴an2＝4+2(n?1)＝2n+2…（6分）
由an2＝2n+1bn得bn＝

an2

2n+1

＝

2n+2

2n+1

＝

n+1

2n

∴Sn＝1+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

①；

1

2

Sn＝

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

②
①-②可得

1

2

Sn＝1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

?

n+1

2n+1

＝

1

2

+1?

1

2n

?

n+1

2n+1

＝

3

2

?

1

2n

?

n+1

2n+1

∴Sn＝3?

n+3

2n

…（9分）
不等式2n?Sn＞m?2n?2an2即3?2ⁿ-（n+3）＞m?2ⁿ-4n-4
也即（m-3）?2ⁿ＜3n+1，即需要m?3＜

3n+1

2n

恒成立
由于n=1，2，3时，3n+1＞2ⁿ；n=4时，3n+1＜2ⁿ；
假设n=k（k≥4）时，3k+1＜2^k，
那么2^k+1=2?2^k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
归纳知：n≥4时，3k+1＜2^k，

3n+1

2n

＞0，∴m-3≤0，
故m的取值范围为m≤3…（13分）