Question

设t=sinα+cosα，若sin3α+cos3α＜0，则t的取值范围是______

设t=sinα+cosα，若sin3α+cos3α＜0，则t的取值范围是______．

Answer 1

∵sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=（sinα+cosα）[（sinα-

1

2

cosα）²+

3

4

cos²α]＜0，而[（sinα-

1

2

cosα）²+

3

4

cos²α]＞0，
∴sinα+cosα＜0，即t=sinα+cosα＜0．
而t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），
∵-1≤sin（α+

π

4

）≤1，
∴-

2

≤t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

，
∴t_min=-

2

，
∴-

2

≤t＜0．
则t的取值范围是[-

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Answer 2