Question

如图，正方形ABCD，AE=AD，∠DAE=60°，BE交AC于点F， (1)求证:AF+BF=

如图，正方形ABCD，AE=AD，∠DAE=60°，BE交AC于点F，

(1)求证:AF+BF=EF    (2)若AB=根号6，求EF的长.

Answer 1

(1)∵ AE=AD    即AE=AB     ,又∠DAE=60°
   ∴ △ ABE为等腰三角形   其中∠A=90+60=150
   ∴ ∠ABE=∠E=(180-150)÷2=15
   ∴ ∠F=15+45=60(外角等于两内角之和)
   将B、E两端点对折重合，则F点落在G点  且AG=AF    BF=EG  
   同时，∠G=60°

     ∴AF=FG=EF-EG=EF-BF
     ∴AF=EF-BF

Answer 2

在FE上取FG=AF,连接AG
∵AE=AD=AB,∠BAE=150
∴∠AEG=∠ABF=15
∴∠AFG=∠ABF+∠BAF=15+45=60
∴∠AFG=60
∵FG=AF,∠AFG=60
∴△AFG是等边三角形
∴AG=AF,
∵∠AGE=∠AFB=120 ,∠AEG=∠ABF=15 ,AE=AB
∴△AEG≌△ABF(AS)
∴EG=BF
∵EF=EG+FG,EG=BF ,FG=AF
∴EF=BF+AF
2)连接DB交AC于点O ,OB=(√2/2)AC=(√2/2)√6=√3
∵∠OBF=30
∴BF=2OF ,OB=(√3/2)BF
∴BF=(2√3/3)*OB=(2√3/3)*√3=2
∴OF=BF/2=1
∴CF=OF+OC=1+√3
∴AF=AC-CF=2√3-(1+√3)=√3 - 1
∴EF=BF+AF=2+(√3 - 1)=1+√3
∴EF=1+√3

Answer 3

根据我的画图,题目要求应改为“求证AF=EF-BF”.并证明如下：
1）∵ AE=AD    即AE=AB     ,又∠DAE=60°
   ∴ △ ABE为等腰三角形   其中∠A=90+60=150
   ∴ ∠S=∠E=（180-150）/2=15 
   ∴ ∠F=15+45=60（外角等于两内角之和）
   将B、E两端点对折重合,则F点落在G点  且AG=AF    BF=EG（重合）  
   同时,∠G也=60
     ∴AF=FG=EF-EG=EF-BF
     ∴AF=EF-BF
2）∵∠AFB（∠F1）=120    ∠FAB（∠A1）=45    AB=√6
     ∴BF=ABSinA1/SinF1=√6Sin45/Sin120=√6*（√2 /2）/√3 /2=√2√3√2/√3=2
     ∴BF=2