Question

∫(arcsinx)²dx

Answer 1

∫ (arcsinx)² dx= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2x + C。

解答过程如下：

∫ (arcsinx)² dx

= x(arcsinx)² - ∫ x * 2arcsinx * 1/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² - ∫ (2x)/√(1 - x²) * arcsinx dx

= x(arcsinx)² + ∫ arcsinx * 2/[2√(1 - x²)] d(1 - x²)

= x(arcsinx)² + 2∫ arcsinx d√(1 - x²)

= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2∫ √(1 - x²) d(arcsinx)

= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2∫ √(1 - x²) * 1/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2x + C

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

扩展资料

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

Answer 2

令t=arcsinx,则x=sint
dx=d(sint)=(cost)dt

所以∫(arcsinx)²dx=∫t²(cost)dt=∫t²d(sint)
=t²sint-∫sintd(t²)(注：此处用了分部积分法）
=t²sint-2∫(sint)td(t)
=t²sint+2∫td(cost)
=t²sint+2(tcost-∫(cost)dt)(注：此处用了分部积分法）
=t²sint+2tcost-2∫(cost)dt
=t²sint+2tcost-2sint+c（c为积分常数）
还原变量得：∫(arcsinx)²dx=x(arcsinx)²+2(arcsinx)(√（1-x^2))-2x+c（c为积分常数）

Answer 3

详情如图所示

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