Question

已知函数fx=ln(x+1)-x+ax² 当a∈(-∞，1/2)时，求函数的单调区间

Answer 1

f(x)=ln(x+1)-x+ax² 定义域 x>-1
f'(x)=1/(x+1)-1+2ax
=[1-x-1+2ax²+2ax]/(x+1)
=x[2ax+(2a-1)]/(x+1)
驻点x₁=0 x₂=(1-2a)/2a
当a<0,x₂=(1-2a)/2a=1/2a-1<-1,不在定义域内
当a=0 x₂无意义
∴a≤0时，只有x=0一个极值点，为极大值点
∴单调递增区间x∈(-1,0),单调递减区间x∈(0,+∞)
0<a<½时，(1-2a)/2a>0
定义域内有两个极值点
x₁=0 极大值点 x₂=(1-2a)/2a 极小值点
∴单调递增区间x∈(-1,0)∪(1/2a-1,+∞)
单调递减区间x∈(0,1/2a-1)