Question

高数求极限，求高手 lim(b^(1/n)-1)*∑[b^(i/n)]*sin{b^[(2i+1)

高数求极限，求高手 lim(b^(1/n)-1)*∑[b^(i/n)]*sin{b^[(2i+1)/(2n)]} 已知b>1,i从0积到n-1且n趋于无穷

Answer 1

　　解：分享一种解法，转化成定积分求解。
　　∵原式=lim(n→∞)∑{b^[(1+i)/n]-b^(i/n)}sin[b^(2i+1)]，可以看出sinx在[1,b]上按b^(i/n)划分，即1=b^(0/n)<b^(1/n)<b^(2/n)<……<b^(n/n)=b的乘积之和，
　　而△xi=b^[(1+i)/n]-b^(i/n)为小区间[b^(i/n)，b^[(1+i)/n]]的长度，最大区间长度λ=max(xi)≤b^[(1+n)/n]-b^(n/n)=b[b^(1/n)-1]→0，且ξi=b^[(1+2i)/(2n)∈[b^(i/n)，b^[(1+i)/n]]，满足定积分定义的条件，
　　∴原式=lim(n→∞)∑{b^[(1+i)/n]-b^(i/n)}sin[b^(2i+1)]=∫(1,b)sinxdx=cos1-cosb。
　　供参考