Question

一道高二数学题:如图，关于椭圆的

Answer 1

解：见下图：(I) 将x=1代入椭圆方程，1/3+y^2=1;y^2=1-1/3=2/3; y=+/-√6/3;  a-1=√3-1<√6/3;   则√3-1<=|AM |<=a+1 =√3+1。如果A和B的位置交换也是如此。

(II)证明：设直线方程为y=kx+b, 经过M(1,0)，则有 0=k*1+b; b=-k; 直线方程为y=kx-k....(1); 与椭圆相交于A、B两点，代入椭圆方程，有x^2/3+(kx-k)^2=x^2/3+k^2x^2-2K^2x+k^2=1;方程两边同时乘以3，并移项整理，得：（1+3k^2)x^2-6k^2x+3(k^2-1)=0......(2);

△=(-6k^2)^2-4*(1+3k^2)*3(k^2-1)=12[3k^4-(3k^4-2k^2-1)]=12(2k^2+1);

x1,2={6k^2+/-2√[3(2k^2+1)]}/[2(3k^2+1)]}={3k^2+/-√[3(2k^2+1)]}}/(3k^2+1)....(3),将(3)代入(1),得：y1，2=k{3k^2+/-√[3(2k^2+1)]}/(3k^2+1)-k=k{-1+/-√[3(2k^2+1)]}/(3k^2+1)...(4);    

为讨论方便，设p=3k^2/(3k^2+1), q=√[3(2k^2+1)]/(3k^2+1)，z=1/(3k^2+1);点A、B的坐标分别为A(x2, y2), B(x1,y1), 点A'、B‘坐标分别为:A'(x2,-y2), B'(x1,-y1),

AB'的直线方程为：[y+y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1); y=(y2-y1)(x-x1)/(x2-x1)-y1; 代入

y=[(-2kzx)+2kz(p+q)]/(-2q)-(-kz+kq)=[kzx-kz(p+q)]/q-kq(q-z)/q=[(kzx)-kzp-kq^2]/q; 将y=0，代入上式中,得：x=p+q^2/z=[3k^2+3(2k^2+1)]/(3k^2+1)=(9k^2+3)/(3k^2+1)=3

由此可见，直线AB‘通过点（3，0）——P点，同理，以x周对称的A'B也通过P点；所以，      ∠MPA=∠MPB。命题得证。