Question

设f(x)有原函数xlnx,则∫xf(x)dx=?

Answer 1

（1）函数f（x）=xlnx+ax2，则f′（x）=1+lnx+2ax，f′（1）=1+2a，f（1）=a， ∴切线方程为y-a=（1+2a）（x-1），由题意知，-a=（1+2a）?（-1），解得a=-1．（2）f′（x）=1+lnx+2ax，要使函数f（x）在区间（0，1）内不单调，则只需f′（x）的函数值在（0，1）内，有正有负．令g（x）=1+lnx+2ax，则g′（x）=1 x +2a，而x∈（0，1），1 x ＞1．当2a≥-1，即a≥-1 2 ，g′（x）＞0， g（x）在（0，1）内单调递增，又x→0，g（x）→-∞， ∴只需g（1）=1+2a＞0，即a＞-1 2 ，∴a＞-1 2 ，当2a＜-1，即a＜-1 2 ，g（x）在（0，-1 2a ）上单调递增，在（-1 2a ，1）上单调递减， ∴只需g（-1 2a ）＞0，即ln（-1 2a ）＞0，∴a＞-1 2 矛盾，舍去，综上，a＞-1 2 ．

追问

什么玩意？