Question

数学分析中一致收敛与收敛有什么区别

Answer 1

从定义上看：
fn一致收敛到f：对于任意的e0,存在一个N0，使对于任意的x在定义域和nN, |f(x)-fn(x)|<e
fn逐点收敛到f：对于任意的e0,对于任意的x在定义域，存在一个N_x0，使任意的和nN_x, |f(x)-fn(x)|<e
这里注意到，我在逐点收敛的N上标了一个下标x，表示N和x是有关系的。而一致收敛的N是先取的，是对所有x都适用的。这个就是最大的区别：
逐点收敛指在每个点，函数值fn(x)都收敛到f(x)，但是不同点收敛快慢可能不一样。
一致收敛指所有fn(x)大约“同步”地收敛到整个f(x)。追问：
收敛一定能一致收敛吗回答：
不一定啊，但反之一定！追问：
我看过一个证明题 证级数的连续 答案先证其收敛 然后直接得出一致收敛 再直接得出连续…… 我十分的不理解……回答：
为什么要引进一致连续的概念呢？ 容易证明有限个“连续函数”的和仍然是“连续函数”。但是，对于函数项级数，每一项函数都是连续的，在每一点x处级数收敛的，函数项级数收敛于和函数S(x), 我们自然要问S(x)是否是连续函数？ 很遗憾，可举出反例，不一定。有如下定理：在闭区间上，函数项级数中的每一项连续，且一致收敛于S(x), 则S(x)在该闭区间上也连续。 上述讨论注意“连续函数”，改为“可导函数”，“可积函数”也成立。 可见一致收敛的概念是多么强有力！ 需要补充的是，你说你看到的是证明了收敛就得到一致收敛，你可以查一下分析书里，有好几个一致收敛的判定定理，证明中一定用了其中一个。