Question

在三角形ABC中，角A.B.C的对边分别为a.b.c

在三角形ABC中，角A.B.C的对边分别为a.b.c，且4bsinA=√7a
若a.b.c为等差数列，且公差大于0，求cosA-cosC的值

Answer 1

由正弦定理，得asinB=bsinA，
又由条件4bsinA=√7a，
从而 asinB=(√7/4)a，
即 sinB=√7/4
由于 a,b,c成等差数列，所以2b=a+c
由正弦定理，易得 2sinB=sinA+sinC
即 sinA+sinC=√7/2 (1)
设cosA-cosC=x （2）
(1)²+(2)²，得
2+2(sinAsinC-cosAcosC)=7/4 +x²
所以 x²=-2cos(A+C) +1/4
即 x²=2cosB+1/4
因为公差为正，从而B为锐角，且A<B<C
所以 cosB=√(1-sin²B)=3/4
从而 x²=2cosB +1/4=7/4
又cosA-cosC=x>0
从而 cosA-cosC=√7/2

Answer 2

COSC/COSB=(2a-c)/b
=(2sinA-sinC)/sinB
故：sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB
sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
sin(B+C)=2sinAcosB
sinA=2sinAcosB
cosB=1/2
B=60度
A+C＝120度
因：a/sinA=c/sinC=2R=2√3
a+b=2√3(sinA+sinC)
=4√3sin((A+C)/2)cos((A-C)/2)
=6cos((A-C)/2)
=6
cos((A-C)/2)=1
A=C=60度
故三角形ABC是
等边三角形
a=b=c=3
△ABC的面积S=9√3/4