Question

已知正数x,y满足x²+y²=1，则1/x+1/y的最大值为

Answer 1

三角换元法
令x=cosA
y=sinA
A∈(0，π/2)
1/x+1/y
=1/cosA+1/sinA
=(sinA+cosA)/(sinAcosA)
令t=sinA+cosA
则sinAcosA=(t²-1)/2
其中t=sinA+cosA=√2sin(A+π/4)
因A∈(0，π/2)
故A+π/4∈(π/4，3π/4)
因此t∈(1，√2]
1/x+1/y
=2t/(t²-1)
=2/(t-1/t)
由于(t-1/t)'=1+1/t²>0
是增函数
故1/x+1/y是关于t的减函数
当t=√2时，取得最小值2√2
没有最大值，你的题目有误

Answer 2

y/(x+1)的最大值是在x最小，y最大时，
∵ 实数内(x-1)²+(y-1)²=1，y-1=√[1-(x-1)²]=√(2x-x²)，2x-x²≥0，即x=0，或x=2，
x=0，或x=2时，y均等于1，∴y/(x+1)的最大值是x=0时，y=1，y/(x+1)＝1