Question

已知x、y为正数，且x2+y2/2=1,则x√(1+y2)的最大值为???，x=???

已知x，y∈R，且(x^2+y^2)/2=1，则 x√(1+y^2)的最大值 解:∵(x^2+y^2)/2=1,∴x^2+y^2=2 x√(1+y^2)= √[x^2(1+y^2) ≤(1/2)[x^2+(1+y^2)]=(1/2)(2+1)=3/2 ∴最大值为3/2 我是这样做的但是错了，答案是3根号2/4，后来老师说要乘系数，变成x√(1+y^2)= √[1/2*(2x^2)(1+y^2)才能做对。求解为什么要乘系数??其他题我那样做能做对为什么这道题不行

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

第一种方法:
令x=cost，y=根号2sint
t∈[0,π/2]
则x√(1+y2)=cost根号(1+2sin²t)=根号(cos²t+2sin²tcos²t)
=根号(cos²t-1/2+1/2sin²2t+1/2)=根号(1/2cos2t+1/2-1/2cos²2t+1/2)
=根号(-1/2cos²2t+1/2cos2t+1)=根号[-1/2(cos2t-1/2)²+9/8]
∵t∈[0,π/2]∴cos2t∈[-1,1]
所以当cos2t=1/2时最大，此时x=cost=cosπ/6=根号3/2，得x√(1+y2)最大值=根号9/8=3根号2/4
第二种方法1+y²=3-2x²
则x√(1+y2)=x根号(3-2x²)=根号(3x²-2x四次方)
令t=x²，因为x、y为正数，且x2+y2/2=1所以x∈[0，1]
∴t∈[0,1]
根号(3x²-2x四次方)=根号(3t-2t²)=根号[-2(t-3/4)²+9/8]
当t=3/4时最大，此时x=根号t=根号3/2,则x√(1+y2)最大值=根号9/8=3根号2/4
第三种方法1+y²=3-2x²
则x√(1+y2)=x根号(3-2x²)=根号2[x(3/2-x)]利用均值不等式最大值可求

Answer 3

利用基本不等式求最值的应用。

详情如图所示:

供参考，请笑纳。