Question

求极限(x趋向于0时）lim[sinx-sin(sinx)]/(sinx)^3

(x趋向于0时）lim[sinx-sin(sinx)]/(sinx)^3

Answer 1

0比0型极限，请用洛必达法则。即，分式上下分别求导。

[sinx-sin(sinx)]‘=cosx-cosxcos(sinx),x→0，→1-1*1=0

(sinx)^3=3cosxsinx^2=0

继续使用洛必达法则

【cosx-cosxcos(sinx)】'=sinx+sinxcos(sinx)+cosxcosxsin(sinx)=0

[3cosxsinx^2]'=-3sinx^3+6cosx^2*sinx=0

【-sinx+sinxcos(sinx)+cosxcosxsin(sinx)】=-cosx+cosxcos(sinx)-sinxcosxsin(sinx）-2cosxsinxsin（sinx)+2cosx^2*cosxcos(sinx)

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

对于很复杂的复合函数，用连续用洛必达法则是个很麻烦的方法

求极限起码有十余种不同的方法，这题用等价无穷小最便捷

不想秒得这么快？看下面的详细版：

Answer 3

0比0型极限，请用洛必达法则。即，分式上下分别求导。
[sinx-sin(sinx)]‘=cosx-cosxcos(sinx),x→0，→1-1*1=0
(sinx)^3=3cosxsinx^2=0
继续使用洛必达法则
【cosx-cosxcos(sinx)】'=sinx+sinxcos(sinx)+cosxcosxsin(sinx)=0
[3cosxsinx^2]'=-3sinx^3+6cosx^2*sinx=0
继续使用，
【-sinx+sinxcos(sinx)+cosxcosxsin(sinx)】’=-cosx+cosxcos(sinx)-sinxcosxsin(sinx）-2cosxsinxsin（sinx)+2cosx^2*cosxcos(sinx)=-1+1-0-0+2=2.[-3sinx^3+6cosx^2*sinx]'=-9cosxsinx^2-12cosxsinx*sinx+6cosx^2*cosx=6
所以，lim=2/6=1/3.请验算，不对请追问。

追问

确定不是1/6吗
我这样做的，你看看对不对
设sinx=t
=(t-sint)/t^3
=(1-cost)/3t^2
=sint/6t
=cost/6
=1/6

追答

嗯，你的做法不错，看不出什么毛病，可能是我求导求错了，如果你有时间可以看看我哪里错了。对不起了。

Answer 4

追答

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