Question

函数y=x(2a-x)在0《x《2时有最大值为a^2,求a的取值范围

Answer 1

很简单，我来回答

解答如下

(1)由于函数y=x(2a-x)=2ax-x^2,则对称轴是x=a

在0≤x≤2时，x=a在区间[0，2]内或者外部活动，下面主要是讨论这个运动的轴x=a所在范围就可以了

当0≤a≤2时，由于函数y=2ax-x^2是开口向下的抛物线，则最大值就在x=a的时候取到，所以

y=f(a)=a^2

当a<0时，函数y=2ax-x^2在区间[0,2]上单调递减，则最大值为y=f(0)=0=a^2,这与a<0相矛盾，故此种情况不成立

当a>2时，函数y=2ax-x^2在区间[0,2]上单调递增，则最大值为y=f(2)=4a-4=a^2
得到a=2这也与a>2矛盾，故此情况也不成立

综上所述，只有0≤a≤2时，函数y=x(2a-x)在0≤x≤2时有最大值a^2成立。

希望我的回答对你有所帮助。