Question

在直角坐标系中有三点A(0,1),B(1,3),C(2,6),

在直角坐标系中有三点A（0，1）、B（1，3）、C（2，6）。已知直线y=ax+b上的横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求a、b的值，使得AD^2+BE^2+CF^2D达到最小值。 麻烦讲解，谢谢！~

Answer 1

y=ax+b过点(0,b),(1,a+b),(2,2a+b)
则AD^2+BE^2+CF^2D=(1-b)^2+(3-a-b)^2+(6-2a-b)^2
由柯西不等式
(1+4+1)*((1-b)^2+(3-a-b)^2+(6-2a-b)^2)
>=(1-b+2(a+b-3)+6-2a-b)^2=1
即6*(AD^2+BE^2+CF^2)>=1,AD^2+BE^2+CF^2>=1/6
不等式成立当且仅当
(1-b)/1=(a+b-3)/2=(6-2a-b)/1
即a=5/2,b=5/6时