Question

怎么求椭圆到直线最小距离（大学高数）

Answer 1

如下：

方法一：设出椭圆的参数方程，用点到直线的距离公式求，将其化为三角函数式，利用三角函数的性质求就可以了。

方法二：对椭圆方程隐函数求导，让其等于直线方程斜率。求得此点即可。

椭圆简介

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

Answer 2

方法一：设出椭圆的参数方程，用点到直线的距离公式求，将其化为三角函数式，利用三角函数的性质求就可以了。
方法二：对椭圆方程隐函数求导，让其等于直线方程斜率。求得此点即可。

Answer 3

椭圆上的点为（2cosa,sina)因此，就转化为点到直线2x+3y-6=0的距离最短
运用点到直线距离公式得：|4cosa+3sina-6|/√13
也就是求｜4cosa+3sina-6｜的最小值，即求4cosa+3sina的最大值
4cosa+3sina＝5*(4/5cosa+3/5sina)=5sin(x+a)，其中sinx=4/5,cosx=3/5
可见4cosa+3sina的最大值是5
因此｜4cosa+3sina-6｜的最小值＝1
点到直线距离最短：√13/13
此点sin(x+a)=1
x+a=π/2
a=π/2-x=π/2-arcsin4/5
sina=sin(π/2-arcsin4/5)=cosarcsin4/5
cosa=sinarccos3/5
点的坐标为：（2sinarccos3/5，cosarcsin4/5）

Answer 4

然后与椭圆方程联立，取判别式=0。
直线已知，所以其斜率k可以求出。设该切线方程为y
=
kx
+
b
(b未知)，切点即为椭圆到直线最小距离可以想象将该直线向椭圆平行移动，直至相切,
可以得出b,
应当有2个解，分别为离直线的最近和最远点。接着可以求出切点

Answer 5

1. 点到直线的函数列为目标函数

2. 椭圆方程作为条件函数

3. 使用条件极值与拉格朗日乘数法

4. 求解极值点