Question

怎么把e^（z/z-1）展开成幂级数

Answer 1

解题过程如下：

e^（z/z-1）

=Z▪(1+Z+Z^2+Z^3+....) ( |Z| <1 )

=Z+Z^2+Z^3+... ( |Z| <1 )

=e^(Z+Z^2+Z^3+...) 

=e^Z+e^(Z^2)+e^(Z^3)+... 

=(1+Z+Z^2/2!+Z^3/3!+....)(1+Z^2+Z^4/2!+Z^6/3!+...)(1+Z^3+Z^6/2!+Z^9/3!+...)..... ( |Z| <1 )

幂级数性质：

幂级数是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

Answer 2

具体过程如下：

(Z/(1/Z))

=Z▪(1+Z+Z^2+Z^3+....) ( |Z| <1 ) 

=Z+Z^2+Z^3+... ( |Z| <1 ) 

则f（Z）

=e^(Z+Z^2+Z^3+...) 

=e^Z+e^(Z^2)+e^(Z^3)+... 

=(1+Z+Z^2/2!+Z^3/3!+....)(1+Z^2+Z^4/2!+Z^6/3!+...)(1+Z^3+Z^6/2!+Z^9/3!+...)..... ( |Z| <1 )

扩展资料：

在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

对于收敛域上的每一个数x，函数项级数都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。因此，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数。

Answer 3

(1)e^(z/(z-1))无法给出通式
1.
e^(z/(z-1))=e^(1+1/(z-1))可以按照泰勒展开
令[e^(1+1/(z-1))](n)'代表n次导数
那么[e^(1+1/(z-1))](1)'=[e^(1+1/(z-1))]*[-1/(z-1)^2]
[e^(1+1/(z-1))](2)'=[e^(1+1/(z-1))]*[1/(z-1)^4]+[e^(1+1/(z-1))]*[2/(z-1)^3]=
=[e^(1+1/(z-1))]*[(2z-1)/(z-1)^4]
[e^(1+1/(z-1))](3)'=
(e^(z/(z-1))
(-6
z^2+6
z-1))/(z-1)^6
...
求出每个在x=0的值
得到
1-z-z^2/2-z^3/6+z^4/24+(19
z^5)/120+o(z^6)
2.
e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+...
e^(z/(z-1))=1+z/(z-1)+(z/(z-1))^2/2+(z/(z-1))^3/3+...
又z/(z-1)=
-z/(1-z)=-z-z^2-z^3-z^4+...
[z/(z-1)]^n=(-z)^n
*
(1+c(n,1)z+(c(n,1)+c(n,2))z^2+
(c(n,1)+c(n,2)+c(n,3))z^3+...)
令bni=c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,i)
对应的有[z/(z-1)]^n=(-z)^n
*
(1+bn1*z+bn2*z^2+...)
e^(z/(z-1))=1+z/(z-1)+(z/(z-1))^2/2+(z/(z-1))^3/3+...=
=1-z(1+b11*z+b12*z^2+...)+z^(1+b21*z+b22*z^2+...)+...
对应的z^n的系数是(+b1n+b2n+b3n+...+bnn)/n!
这里只是抽象的写出系数的解析式，并不具有实际意义。
那么还是通过求值得
1-z-z^2/2-z^3/6+z^4/24+(19
z^5)/120+o(z^6)
(2)
e^(z^2)*sinz^2反而比较容易
按照e^x=1+x+x^2/2+...展开得
e^(z^2)=1+z^2+z^4/2+...
sin(z^2)=z^2-z^6/3!+z^10/5!...
e^(z^2)*sin(z^2)=z^2+z^4+z^6/3-z^10/30-z^12/90-z^14/630...
想不出有什么好的方法。

Answer 4

e^(z/(z-1)=
e*[e^(1/(z-1))],
对后面的指数函数泰勒展开酒获得关于z-1的幂级数