Question

如图，BC＞AB，BD平分∠ABC且AD=DC。求证：∠A+∠C=180

Answer 1

证明：

在BC上取一点E,使得BE=AB

联结DE

∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠ABD=∠CBD（角平分线的定义）在△BAD和△BED中

{AB=EB（已作）

{∠ABD=∠EBD（已证）

{BD=BD（公共边）

∴△BAD≌△BED（S.A.S）

∴AD=ED（全等三角形对应边相等）

∵AD=DC（已知）

∴DE=DC（等量代换）

∴∠DEC=∠DCE（等边对等角）

∵∠BAD=∠BED（全等三角形行对应角相等） 

∴∠A+∠C=∠BED+∠DEC=180°（平角的定义）

Answer 2

在BC上取一点E,使得BE=AB
因为BD平分角ABC,所以角ABD=角CBD
又BE=AB,BD=BD
所以边角边得到三角形ABD和三角形EBD全等
所以有:AD=DE;角A=角DEB
又AD=CD
所以:CD=AD=DE
那么角C=角DEC
又角DEC+角DEB=180度
就得到了:
角A+角C=角DEC+角DEB=180度