Question

已知函数f（x，y）在点（0,0）的某个邻域内连续，且lim（x，y）趋近（0,0）时【f(x,y

）-xy】/【（x^2+y^2)^2】=1，问点（0,0）是不是极值点

Answer 1

答案：由lim    x→0，y→0    f(x，y)-xy    (x2+y2)2    =1知。

因此分母的极限趋于0，故分子的极限必为零，从而有f（0，0）=0；因为极限等于1；故f（x，y）-xy～（x2+y2）2（|x|，|y|充分小时），于是f（x，y）～xy+（x2+y2）2。

因为：f（0，0）=0；所以：f（x，y）-f（0，0）～xy+（x2+y2）2。

可见当y=x且|x|充分小时，f（x，y）-f（0，0）≈x2+4x4＞0；而当y=-x且|x|充分小时，f（x，y）-f（0，0）≈-x2+4x4＜0。故点（0，0）不是f（x，y）的极值点。

解决问题的极限思想：

’极限思想’方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。

数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题，正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。

人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。要相信， 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

不是极值点啊，可以看看高数8章8节定理1