已知函数f(x)=ax2-2x+lnx.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行,求a的值;(2)若函数f(x)在
已知函数f(x)=ax2-2x+lnx.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行,求a的值;(2)若函数f(x)在[2,+∞)上存在单调减区间,求a的取值范围;...
已知函数f(x)=ax2-2x+lnx.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行,求a的值;(2)若函数f(x)在[2,+∞)上存在单调减区间,求a的取值范围;(3)若函数f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于?32.
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1个回答
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(1)∵f(x)=ax2-2x+lnx,
∴x>0,f′(x)=2ax?2+
,
∵曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行,
∴f′(1)=2a-2+1=0,解得a=
.
(2)f′(x)=2ax?2+
=
,
∵函数f(x)在[2,+∞)上存在单调减区间,
∴f′(x)=2ax?2+
≤0,
∴a≤
-
=
,
设h(x)=
,h′(x)=
=
,
∵x>2,∴h′(x)<0,
∴h(x)是减函数,∴h(x)max=h(2)=
,
∴a≤
.
(3)由题意,2ax2-2x+1=0有两不同的正根,
故△>0,a>0,解得:0<a<
;
设2ax2-2x+1=0的两根为x1,x2,不妨设x1<x2,
因为在区间(0,x1),(x2,+∞)均有f′(x)>0,
而在区间(x1,x2)上,f′(x)<0,
故x2是f(x)的极小值点,
∴2ax22-2x2+1=0,∴a=
,
由0<a<
,知x2>
,且x2≠1,
∴f(x2)=ax22?2x2+lnx2
=
?x22?2x2+lnx2
=lnx2-x2-
(x2>
,且x2≠1),
构造函数Q(x)=lnx-x-
(x>
且x≠1),
Q′(x)=
?1=
,
∴Q(x)<Q(1)=-
,
∴f(x)的极小值f(x2)<-
.
∴x>0,f′(x)=2ax?2+
1 |
x |
∵曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行,
∴f′(1)=2a-2+1=0,解得a=
1 |
2 |
(2)f′(x)=2ax?2+
1 |
x |
2ax2?2x+1 |
x |
∵函数f(x)在[2,+∞)上存在单调减区间,
∴f′(x)=2ax?2+
1 |
x |
∴a≤
1 |
x |
1 |
2x2 |
2x?1 |
2x2 |
设h(x)=
2x?1 |
2x2 |
4x?4x2 |
4x4 |
1?x |
x3 |
∵x>2,∴h′(x)<0,
∴h(x)是减函数,∴h(x)max=h(2)=
3 |
8 |
∴a≤
3 |
8 |
(3)由题意,2ax2-2x+1=0有两不同的正根,
故△>0,a>0,解得:0<a<
1 |
2 |
设2ax2-2x+1=0的两根为x1,x2,不妨设x1<x2,
因为在区间(0,x1),(x2,+∞)均有f′(x)>0,
而在区间(x1,x2)上,f′(x)<0,
故x2是f(x)的极小值点,
∴2ax22-2x2+1=0,∴a=
2x2?1 |
2x22 |
由0<a<
1 |
2 |
1 |
2 |
∴f(x2)=ax22?2x2+lnx2
=
2x2?1 |
2x22 |
=lnx2-x2-
1 |
2 |
1 |
2 |
构造函数Q(x)=lnx-x-
1 |
2 |
1 |
2 |
Q′(x)=
1 |
x |
1?x |
x |
∴Q(x)<Q(1)=-
3 |
2 |
∴f(x)的极小值f(x2)<-
3 |
2 |
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