设函数f(x)=13ax3+12bx2+cx(a,b,c∈R),在点(1,f(1))处的切线斜率为?a2,且a>2c>b.(I)判断a

设函数f(x)=13ax3+12bx2+cx(a,b,c∈R),在点(1,f(1))处的切线斜率为?a2,且a>2c>b.(I)判断a,b的符号;(II)证明:函数f(x... 设函数f(x)=13ax3+12bx2+cx(a,b,c∈R),在点(1,f(1))处的切线斜率为?a2,且a>2c>b.(I)判断a,b的符号;(II)证明:函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个极值点(III如果函数f(x)的单调递减区间为[m,n],求n-m的取值范围. 展开
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麻花疼不疼5417
2014-12-26 · 超过64用户采纳过TA的回答
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解答:.解:(1)∵f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2+cx(a,b,c∈R)

∴f′(x)=ax2+bx+c
f′(1)=?
a
2

∴a+b+c=-
a
2
即3a+2b+2c=0①(1分)
又∵a>2c>b,
∴3a+2b+2c<3a+2a+a=6a,3a+2b+2c>3b+2b+b=6b,
结合①得a>0,且b<0(3分)
(2)由①得∴f'(0)=c,f'(2)=4a+2b+c=a-c,
1°当c≤0时,∵a>0∴f′(1)=?
a
2
<0
且f'(2)=a-c>0
∴f(x)在区间(1,2)内至少有一个极值点. (5分)
2°当c>0,∵a>0∴f'(1)=c>0且f′(1)=?
a
2
<0

∴f(x)在区间(0,1)内至少有一个极值点. (8分)
综合1°和2°得,函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个极值点.
(3)由①得2c=-3a-2b,∵a>2c>b,∴a>-3a-2b>b,
∵a>0,∴1>?3?2?
b
a
b
a

?2<
b
a
<?1
②(9分)
∵a>0,f'(x)为二次函数,所以m,n为f'(x)=0的两根,
m+n=?
b
a
mn=
c
a
=?
3
2
?
b
a
④(10分)
由③④得n?m=
(m+n)2?4mn
(
b
a
+2)
2
+2

由②得
2
<n?m<
3

即n-m的取值范围是(
2
3
)
(12分)
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