Question

已知各项均为正数的数列{an}，若前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+an，若数列{1an2}的前n项和为Tn，求证：Tn＜

已知各项均为正数的数列{an}，若前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+an，若数列{1an2}的前n项和为Tn，求证：Tn＜74．

Answer 1

证明：（1）因为2S_n=a_n²+a_n…①，所以2a1＝a12+a1，
解得a₁=1或0（舍去），
且2S_n-1=a_n-1²+a_n-1…②，
①-②，可得2an＝an2?an?12+an?an?1，
整理，可得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0；
又因为数列{a_n}各项均为正数，
所以a_n-a_n-1-1=0，即a_n=a_n-1+1，
因此{a_n}为等差数列，a_n=n，
经检验，a₁=1也符合上式，
所以数列{a_n}的通项公式为：a_n=n；
（2）由（1）知T_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

，
n=1时，T1＝a1＝1＜

7

4

成立，
当n＞1时，

1

n2

＜

1

n(n?1)

＜

1

n?1

?

1

n

，
T_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+(

1

3

?

1

4

)+…+(

1

n?1

?

1

n

)=2?

1

n

＜

3

2

＜

7

4

，
所以T_n＜

7

4

成立．