Question

设a∈R，函数f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2（π2+x）满足f(?π3)=f（0）．（1）求f（x）的单调递减区间

设a∈R，函数f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2（π2+x）满足f(?π3)=f（0）．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2?b2a2+b2?c2＝c2a?c，求f（A）的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

+x）
=

a

2

sin2x-cos2x，
由f(?

π

3

)=f（0），解得a=2

3

故f（x）=

a

2

sin2x-cos2x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
故单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z
（2）由

a2+c2?b2

a2+b2?c2

＝

c

2a?c

，可解得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，∴2cosB=1，即cosB=

1

2

，又0＜B＜π
∴B=

π

3

，又A+

π

3

＞

π

2

，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，
则f（A）=2sin（2A-

π

6

），

π

6

＜2A?

π

6

＜

5π

6

，
∴2×

1

2

＜f(A)＜1×2，即f（A）∈（1，2]．