Question

设函数f（x）=x+ax2+blnx，其对应的图象为曲线C；若曲线C过点P（1，0），且在点P（1，0）处的切线斜率k=2

设函数f（x）=x+ax2+blnx，其对应的图象为曲线C；若曲线C过点P（1，0），且在点P（1，0）处的切线斜率k=2，（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）证明不等式f（x）≤2x-2．

Answer 1

（1）f′（x）=1+2ax+

b

x

由已知条件得

f(1)＝0 f′(1)＝2

即

1+a＝0 1+2a+b＝2

解得a=-1，b=3，
∴f（x）=x-x²+3lnx．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）
由（1）知f（x）=x-x²+3lnx
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx
则g′（x）=-1-2x+

3

x

=-

(x?1)(2x+3)

x

，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
当x＞1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
而g（1）=0，
故当x＞0时，g（x）≤0即f（x）≤2x-2．