已知△ABC的三个内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c,向量 m =(sinB,1-cosB)与向量

已知△ABC的三个内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c,向量m=(sinB,1-cosB)与向量n=(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B的大小;(2)若b=... 已知△ABC的三个内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c,向量 m =(sinB,1-cosB)与向量 n =(2,0)的夹角θ的余弦值为 1 2 .(1)求角B的大小;(2)若 b= 3 ,求a+c的取值范围. 展开
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纳兰6qV7
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(1)△ABC中,因为
m
═(sinB,1-cosB)= 2sin
B
2
 ?(cos
B
2
,sin
B
2
)
n
=(2,0),
m
?
n
= 4sin
B
2
cos
B
2
|
m
|=2sin
B
2
,|
n
|=2

所以, cosθ=
m
?
n
|
m
|?|
n
|
=cos
B
2
.…(4分)
cos
B
2
=
1
2
,0<θ<π
,可得
B
2
=
π
3
,即 B=
3
.…(7分)
(2)因为 B=
3
,所以 A+C=
π
3

所以 sinA+sinC=sinA+sin(
π
3
-A)=sinA+sin
π
3
cosA-cos
π
3
sinA

=
1
2
sinA+
3
2
cosA=sin(
π
3
+A)
. …(10分)
0<A<
π
3
,所以
π
3
π
3
+A<
3
.所以, sinA+sinC∈(
3
2
,1]
.…(12分)
a+c=
b
sinB
(sinA+sinC)=2(sinA+sinC)

所以 a+c∈(
3
,2]
.…(14分)
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