Question

已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、

已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P．（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF；（3）求异面直线PA和EF的距离．

Answer 1

（1）证明：如图，∵∠APE=∠APF=90°，
PE∩PF=P，∴PA⊥平面PEF．
∵EF?平面PEF，∴PA⊥EF．
（2）证明：∵∠APE=∠EPF=90°，
AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF．又PE?平面PAE，
∴平面APE⊥平面APF．
（3）解：在面PEF中，作PG⊥EF，垂足为G，
∵AP与面PEF垂直，PG?平面PEF，
∴AP⊥PG，PG⊥EF，PG是AP与EF的公垂线．
在等腰Rt△PEF中，PE=PF=

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，∠EPF=90°，∴PG=EG=

2

4

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