Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结D

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE＝ ．（1）求证： ；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．

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Answer 1

（1）证明：连接AC、EB ∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACE ∴△AMC∽△EMB ∴ ∴ --------------------------------------------------------3分 （2）解：∵DC是⊙O的直径 ∴∠DEC=90° ∴ ∵DE＝ ，CD=8，且EC为正数 ∴EC=7 ∵M为OB的中点 ∴BM=2，AM=6 ∵ ，且EM＞MC ∴EM=4------------------------------------------------------------------------------7分 （3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F ∵OE=4，EM=4 ∴OE=EM ∴OF=FM=1 ∴EF= ∴sin∠EOB= ---------------------------------------------------------------------10分

（1）连接A、C，E、B点，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC∽△EMB； （2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM的长度； （3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin∠EOB的值．