Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c满足b2+c2-a2=bc，AB?BC＞0，a=32，则b2+c2的取值范围是_____

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c满足b2+c2-a2=bc，AB?BC＞0，a=32，则b2+c2的取值范围是______．

Answer 1

∵b²+c²-a²=bc，
∴余弦定理可得cosA=

b2+c2?a2

2bc

=

1

2

，
∵A是三角形内角，
∴A=60°，sinA=

3

2

，
∵a=

3

2

，
∴2R=

a

sinA

＝1，
∴b=2RsinB=sinB，c=2RsinC=sinC，
∵

AB

?

BC

＞0，
∴B是钝角，
∴90°＜B＜120°，
∴b²+c²=sin²B+sin²C=sin²B+sin²（120°-B）=

1?cos2B

2

+

1?cos(240°?2B)

2

=1+

1

2

sin(2B?30°)，
∵90°＜B＜120°，
∴150°＜2B-30°＜210°，
∴-

1

2

＜sin（2B+30°）＜

1

2

，
∴

3

4

＜1+

1

2

sin(2B?30°)＜

5

4

．
故答案为：(

3

4

，

5

4

)．