Question

求二次函数f（x）=x2-2x+2在[t，t+1]上的最小值

求二次函数f（x）=x2-2x+2在[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

∵二次函数f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1的对称轴为 x=1，
①当t＞1时，函数在[t，t+1]上是增函数，故当x=t时，函数取得最小值为t²-2t+2，
当x=t+1时，函数取得最大值为（t+1）²-2（t+1）+2．
②当 t≤1≤t+

1

2

时，则当x=1时，函数取得最小值为1，
当x=t+1时，函数取得最大值为（t+1）²-2（t+1）+2．
③当t+

1

2

＜1≤t+1时，则当x=1时，函数取得最小值为1，
当x=t时，函数取得最大值为t²-2t+2．
④当t+1＜1时，函数在[t，t+1]上是减函数，故当x=t时，函数取得最大值为t²-2t+2，
当x=t+1时，函数取得最小值为（t+1）²-2（t+1）+2．

Answer 2

f(x)=x²-2x+2,由 f'(x)=2x-2=0得x=1
当t+1<=1即t<=0时，在[t,t+1]上的最小值为 f(t+1)=t²+1,
当t>=1，在[t,t+1]上的最小值为f(t)=t²-2t+2,
当0<t<1,在[t,t+1]上的最小值为f(1)=1.

Answer 3

数形结合最简单。第一步，画出函数图形，然后目标区域是长度为一个单位的线段，将线段从左往右移动，看端点x数值垂直投射到函数曲线上的值，再选取最小值；类似最小值最大值的题型都是类似的

或者以对称轴x=1分开讨论，讨论要复杂一些