Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．（Ⅰ） 求证：A1B

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．（Ⅰ） 求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ） 求证：C1A⊥B1C；（Ⅲ） 求直线B1C1与平面A1B1C所成的角．

Answer 1

解答：（I）证明：连接A₁C交C₁A与点O，连接DO
∵ACC₁A₁均为正方形∴点O为A₁C的中点
而D为BC中点∴BO∥A₁B
而A₁B?平面ADC₁，BO?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（II）证明：由（I）可知C₁A⊥A₁C，而AB⊥平面ACC₁A₁，
而C₁A?平面ACC₁A₁，则AB⊥C₁A，而A₁B₁∥AB
∴A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，
∴C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C?平面A₁B₁C
∴C₁A⊥B₁C．
（Ⅲ）解：连接A₁C，A₁C∩AC₁=O，连接OB₁，
∵ACC₁A₁为正方形，∠BAC=90°
∴AC₁⊥A₁C，AC₁⊥A₁B₁，
∴AC₁⊥平面A₁B₁C
∴∠C₁B₁O为直线B₁C₁与平面A₁B₁C所成的角
∵C₁O=

1

2

C₁A=

1

2

C₁B₁
∴∠C₁B₁O=30°．