Question

观察给出的下列各式：（1）tan10°?tan20°+tan20°?tan60°+tan60°?tan10°=1；（2）tan5°?tan15°+ta

观察给出的下列各式：（1）tan10°?tan20°+tan20°?tan60°+tan60°?tan10°=1；（2）tan5°?tan15°+tan15°?tan70°+tan70°?tan5°=1．由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．

Answer 1

可以观察到：10°+20°+60°=90°，5°+15°+70°=90°，
故可以猜想此推广式为：若α+β+γ＝

π

2

，且α，β，γ都不等于kπ+

π

2

(k∈Z)，
则有tanα?tanβ+tanβ?tanγ+tanγ?tanα=1．                
证明：∵α+β+γ＝

π

2

，∴α+β=

π

2

-γ，
∴tan（α+β）=tan（

π

2

-γ）=cotγ，
∴tanα+tanβ=cotγ（1-tanαtanβ），
∴tanα?tanβ+tanβ?tanγ+tanγ?tanα=1．