Question

在△ABC中，已知AB?AC＝9．sinB=cosAsinC，面积S△ABC=6，（1）求△ABC的三边的长；（2）设P是△ABC（含

在△ABC中，已知AB?AC＝9．sinB=cosAsinC，面积S△ABC=6，（1）求△ABC的三边的长；（2）设P是△ABC（含边界）内的一点，P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z．①写出x、y、z．所满足的等量关系；②利用线性规划相关知识求出x+y+z的取值范围．

Answer 1

（1）设△ABC中角ABC所对边分别为a、b、c
由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC
∴sinAcosC=0，可得C＝

π

2

又∵

AB

?

AC

＝9，得bccosA=9
∴结合ccosA=b，有b²=9，可得b=3．
∵S△ABC＝

1

2

a?b＝6，∴a=4
结合c²=a²+b²得c=5
即△ABC的三边长a=4，b=3，c=5…（4分）
（2）①S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB=S_△ABC，可得

1

2

?3x+

1

2

?4y+

1

2

?5z＝6，故3x+4y+5z=12…（8分）
②x+y+z＝x+y+

1

5

(12?3x?4y)＝

12

5

+

1

5

(2x+y)
令t=2x+y依题意有

x≥0 y≥0 3x+4y≤12

…（10分）
画出可行域如图
可知当x=0，y=0时t_min=0
当x=4，y=0时，t_max=8，即0≤t≤8
故x+y+z＝

12

5

+

1

5

t的取值范围为[

12

5

，4]…（13分）