Question

（2014?徐汇区一模）在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）

（2014?徐汇区一模）在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．

Answer 1

解答：（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠DCF，
∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；

（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．
∵AD=AC，
∴DG=CG，
∴BD：BG=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AG，
∴△BDE∽△BGA，
∴ED：AG=BD：BG=2：3，
∵DE=3，
∴AG=

9

2

，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴

S△FCD

S△ABC

=（

CD

BC

）²=

1

4

．
∵S_△ABC=

1

2

×BC×AG=

1

2

×8×

9

2

=18，
∴S_△FCD=

1

4

S_△ABC=

9

2

．