取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；第二
取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B...
取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得 Rt△AB′E，如图（2）所示；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）所示；利用展开图（4）所示．探究：（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．（3）如图（5），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k （k＜0）①问：EF与抛物线y=?18x2 有几个公共点？②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求xy 的值．
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解：（1）△AEF是等边三角形证明：∵PE=PA，
B′P是RT△AB′E 斜边上的中线
∴PA=B′P，
∴∠EAB′=∠PB′A，
又∵PN∥AD，
∴∠B′AD=∠PB′A，
又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°，
∴∠EAB′=∠B′AD=30°，
易证∠AEF=60°，∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）不一定，
设矩形的长为a，宽为b，可知b≤
| ||
| 2 |
当
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| 2 |
（3）①由
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得 x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1），
∵k＜0．
∴k＜-
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当k＝?
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当k＞?
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②EF与抛物线只有一个公共点时，k＝?
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EF的表达式为y＝?
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EF与x轴、y轴的交点为M（1，0），E（0，
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∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′，
∴RT△EMO∽RT△A′AD，
| OE |
| OM |
| DA/ |
| DA |
即
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