Question

已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cm；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）

已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cm；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）；以点O为圆心、OC为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥AB于F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（如图1）（2）请分析⊙O与直线AB可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF的取值范围．（图2供思考用）

Answer 1

解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠OCE．
又∵OE=OC，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠A=∠OEC，
又∵EF⊥AB于F，
∴∠A+∠FEA=90°，
∴∠OEC+∠FEA=90°，
∴∠OEF=180-（∠OEC+∠FEA）=90°，
∴OE⊥EF，
∴EF是圆O的切线；

（2）∵△AEF∽△ABC，
∴

AE

AB

=

EF

BC

，
即

AE

10

=

EF

8

，
设EF=x，则AE=

5

4

x．
∵OE⊥FE，FE⊥AB，
∴OE‖AD，
∴

OE

AD

=

OC

CD

=

EC

AC

，
即

OE

5

=

6? 5x 4

6

∴OE=5-

25

24

x．
过点O作OG⊥AB，则四边形OEFG为矩形．
①当EF=OE时，圆O与AB相切，
x=5-

25

24

x，
解得：x=

120

49

，
②当EF＜OE时，AB与圆O相交，
x＜5-

25

24

x，
解得：x＜

120

49

，
则0＜x＜

120

49

；
③当EF＞OE时，AB与圆O相离，
x＞5-

25

24

x，
解得：x＞

120

49

，
故5≥x＞

120

49

．