Question

n为任何整数,求证n(n+1)(n+2)/6是整数.

请看清楚题目是(n+2)不是(2n+1)
谢谢

Answer 1

证明: 当n=0时，3/6=1/2不是整数，
因此n=0除外

除0之外的任何整数，有

n＝1时，显然成立。

假设当n＝k（k为大于或等于1的正整数），命题成立；则当 n ＝k+1时，n(n+1)(2n+1)＝(k+1)(k+2)(2k＋3)＝(k+1)*[k(2k+1)+6(k+1)]＝k(k+1)(2k+1)+6(k+1)(k+1)
由假设，k(k+1)(2k+1)是6的倍数，而显然6(k+1)(k+1)也是6的倍数，所以n ＝k+1时，n(n+1)(2n+1)也是6的倍数。
综合1和2。可知当n为任何整数时，n(n+1)(2n+1)/6是整数

同理可以证明
当n＝k（k为小于或等于-1的负整数）时的情况。

Answer 2

因为n,n+1,n+2是三个连续的整数，
而三个连续整数中必定有一个是3的倍数，至少有一个是偶数，
所以n(n+1)(n+2)必定是6的倍数，
所以n(n+1)(n+2)/6是整数.

Answer 3

证明：1.n＝1时，显然成立。
2.假设当n＝k（k为大于或等于1的正整数），命题成立；则当 n ＝k+1时，n(n+1)(2n+1)＝(k+1)(k+2)(2k＋3)＝(k+1)*[k(2k+1)+6(k+1)]＝k(k+1)(2k+1)+6(k+1)(k+1)
由假设，k(k+1)(2k+1)是6的倍数，而显然6(k+1)(k+1)也是6的倍数，所以n ＝k+1时，n(n+1)(2n+1)也是6的倍数。
综合1和2。可知当n为任何整数时，n(n+1)(2n+1)/6是整数

Answer 4

证明，因为连续三个整数中，必有一个偶数和一个3的倍数，即三个连续整数的积必是6的倍数。
所以，n(n+1)(n+2)/6必是整数。