Question

tan(x+y)的二阶导是什么？

Answer 1

具体回答如下：

y=tan(x+y)

y'=sec²(x+y)*(x+y)'

=sec²(x+y)*(1+y')

=sec²(x+y)+y'sec²(x+y)

y'-y'sec²(x+y)=sec²(x+y)

y'=sec²(x+y)/[1-sec²(x+y)]

=sec²(x+y)/{-[sec²(x+y)-1]}

=sec²(x+y)/[-tan²(x+y)]

=-1/cos²(x+y)*cos²(x+y)/sin²(x+y)

=-csc²(x+y)

y''=-2csc(x+y)*[-csc(x+y)cot(x+y)]*(x+y)'

=2csc²(x+y)cot(x+y)*(1+y')

=2csc²(x+y)cot(x+y)*[1-csc²(x+y)] 

=2csc²(x+y)cot(x+y)*{-1[csc²(x+y)-1]}

=-2csc²(x+y)cot(x+y)*[cot²(x+y)]

=-2csc²(x+y)cot³(x+y)

二阶导数几何意义：

（1）切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。

（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。

一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0，则递增；一阶倒数小于0，则递减；一阶导数等于0，则不增不减。