Question

已知a.b.c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Answer 1

a^3+a^3+b^3>=3*(a^3*a^3*b^3)=3a^2*b
a^3+a^3+c^3>=3*(a^3*a^3*c^3)=3a^2*c
相加得 4a^3+b^3+c^3>=3a^2(b+c)
同理有 4b^3+a^3+c^3>=3b^2(a+c)
4c^3+a^3+b^3>=3c^2(a+b)
三式相加得 6(a^3+b^3+c^3)>=3[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]
因为a,b,c不全相等，所以不能取等号，两边都除以3得
2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Answer 2

利用排序不等式
a^3+b^3>=a^2b+b^2a
b^3+c^3>=b^2c+c^2b
c^3+a^3>=c^2a+a^2c
相加即证，注意由a,b,c不全等故等号取不到。

Answer 3

已知a.b.c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
思路很简单的 啊你估计是a^3+b^3=(a+b)*(a^2+b^2-ab)>=(a+b)*ab 不懂么 其实就是把后面的第二个括号中利用a^2+b^2>=2ab代入就可以得到 下面的三个式子求和,你应该会的:)