Question

如何证明三角形的任意两边之和大于第三边

Answer 1

证明：
假设构成三角形的三条边分别为：a、b、c，且a、b、c大小任意；
①先证明：a+b＞c；
因为a、b、c都为正数，所以要使得a+b＞c成立，只需证明（a+b）²＞c²，即：
（a+b）²-c²＞0；
根据余弦定理：cosC=（a²+b²-c²）/2ab=（（a+b）²-c²-2ab）/2ab；
移项得：（a+b）²-c²=2ab（2+cosB）；
对于等式的右边：cosB在角B取值范围内的值为（-1,1）；
所以1＜（2+cosB）＜2；
又因为a、b都是正数；
所以2ab（2+cosB）＞0，即（a+b）²-c²＞0，即a+b＞c；
②对于a+c＞b和b+c＞a的情况证明是类似的；

综上所述，证得：三角形的任意两边之和大于第三边。

证毕。
谢谢！