Question

函数Y=2x^3-3ax^2+(a^2+2)x-a,函数仅有一个零点,求a的取值范围

Answer 1

无语了,还有问只有一个零点什么意思的...
零点是函数与x轴的交点.
题目是说这个曲线跟x轴只有一个交点.
显然这是条三次曲线.函数的值域必定是（-无穷,+无穷）,所以函数必定有零点,下面就是分析零点只有一个的问题了.
要解这道题,除了运用导数,我还真是没想到其他有什么办法..不晓得你学过没有
首先求一阶导数,y'=6x^2-6ax+a^2+2
y'=0的解决定了函数的极值点.讨论一下这个方程的解的个数：
1.y'=0无解,即上述方程的判别式0即可.
一种方法是直接代入f(x1)*f(x2),利用一元二次方程根与系数关系来化简求解.但这样做,运算量太大了.
我们首先利用f’（x）=0,推出6x^2-6ax+a^2+2=0,从而x^2=ax-(a^2+2)/6
代入f（x）化简可得到f（x）=（4-a^2）*(2x-a)/6
从而f(x1)*f(x2)=（4-a^2)^2*(2x1+a)*2(x2+a)/36=[(4-a^2)^2/36]*[4x1*x2-2a(x1+x2)+a^2]
再根据x1、x2是方程y'=0的两根,利用根与系数关系代入上式,
则f(x1)*f(x2)>0即为 【(4-a^2)^2/36】*（4-a^2)/3>0
得到-2