Question

设函数f(x)=x|x-a|+b （1）当a＞0时，求函数y=f(x)的单调区间 （2）若不存在正数a,使得不等式f(x)＜0对任

设函数f(x)=x|x-a|+b
（1）当a＞0时，求函数y=f(x)的单调区间
（2）若不存在正数a,使得不等式f(x)＜0对任意x∈[0,1]恒成立，求实数b的取值范围。

Answer 1

（1）
分类讨论
当x>a,x=a

当 x<a
（2）反证法
用第一问的结论进行分类讨论

Answer 2

该函数为分段函数，分段讨论：
当x>a时，f(x)=x*x-ax+b,此时函数为开口向上抛物线，中间点为x=a/2，在中间点右边单调递增，中间点左边单调递减。因a>0，所以a>a/2，因此x>a是在抛物线中间点的右边部分，即单调递增。
当x<a时，f(x)=-x*x+ax+b,此时函数为开口向下抛物线，中间点仍为x=a/2，在中间点右边单调递减，中间点左边单调递增。因a>0，所以a>a/2，因此x<a包括了在抛物线中间点的左边边部分，即（-无穷到a/2），此部分单调递增，在a/2至a这部分是单调递减。
两部分合起来，-无穷到a/2这段为单调递增，a/2至a这部分是单调递减，a到正无穷这部分是单调递增。

Answer 3

如果你学过导函数
（1）当x>a,f（x）=x²-ax+b，
求导得2x-a>0，单调递增
当x<a,f（x）=ax-x²+b，
求导得a-2x，a/2<x<a,单调递减，x<a/2单调递增
（2）由上一问可知，f（x）在f（a/2）处取得极大值。
当a/2>1,x∈[0,1]，f（1）为最大值=a-1+b≥0,则b最小取-1，即b≥-1
当0<a/2<1,x∈[0,1]，f（a/2）为最大值=a²/4+b≥0,则b≥0
综上可得b≥0