Question

已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与双曲线x2/3-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.

已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与双曲线x2/3-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点,且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,求面积的取值范围.

Answer 1

解:(Ⅰ)∵双曲线的离心率为2√3/3,所以椭圆的离心率e=c/a=√3/2，
又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,
∴右顶点为(2,0)，即a=2,c=√3,b=1,
∴椭圆方程为: x2/4+y2=1
(Ⅱ)根据题意可设直线MN的方程为:y=kx+m(k≠0,m≠0)，M(x1,y1)、N(x2,y2)
联立y=kx+m与x2/4+y2=1消去y并整理得:(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0
则x1+x2=-8km/(1+4k2),x1x2=4(m2-1)/(1+4k2)
于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列.
∴y1y2/x1x2=(k2x1x2+km(x1+x2)+m2)/x1x2=k2
-8k2m2/(1+4k2)+m2=0

由m≠0得:k2=1/4，k=±1/2
又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1),得:0<m2<2
显然m2≠1 (否则: x1x2=0,则其中至少有一个为0,
直线OM、ON中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾)

设原点O到直线的距离为d,则S△OMN=∣MN∣d/2 =

故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)

解析

(Ⅰ)通过双曲线的离心率,求出椭圆的离心率,求出椭圆的右顶点,求出a,c,b,求出椭圆方程.
(Ⅱ)根据题意可设直线的方程为: y=kx+m(k≠0,m≠0)，M(x1,y1)、N(x2,y2)联立y=kx+m与x2/4+y2=1消去y,利用韦达定理,结合直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列.求出k,设原点O到直线的距离为d,表示出三角形的面积,然后由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).