如何证明一个分段函数是连续函数?
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首先看各分段函数的函数式是不是连续(这就是一般的初等函数是否连续的做法),然后看分段函数的分段点,左右极限是否相等并等于函数值,如果相等就是连续函数。姿罩分段点处的左极限用左边的函数式做,分段点处的右极限用右边的函数式做。
函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。例如,气温随时间变化,只要时卜码间变化很小,气温的变化也是很小的;又如,自由落体的位移随时间变化,只要时间变化足够短型册哪,位移的变化也是很小的。对于这种现象,我们说因变量关于自变量是连续变化的,连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。
如果自变量在某一点处的增量趋于0时,对应函数值的增量也趋于0,就把f(x)称作是在该点处连续的。在函数极限的定义中曾经强调过,当x→x0时f(x)有没有极限,与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续,则表示f(x0)必定存在,显然当Δx=0(即x=x0)时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
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