Question

求不定积分e^2x/1+e^x

Answer 1

原式=∫e^x /(1+e^x) d(e^x)
=∫[1- 1/(1+e^x)] d(e^x)
=e^x - ln(1+e^x)+C

Answer 2

第一题：
∫ [e^(2x) - 1]/(1 + e^x) dx
= ∫ [(e^x + 1)(e^x - 1)]/(1 + e^x) dx = ∫ (e^x - 1) dx = e^x - x + C
第二题：
∫ 21/(1 + √x) dx <= 令x = t²，dx = 2t dt
= ∫ 42t/(1 + t) dt = (42)∫ (t + 1 - 1)/(1 + t) dt = (42)∫ [1 - 1/(1 + t)] dt
= (42)[t - ln|1 + t|] + C = (42)[√x - ln(1 + √x)] + C

Answer 3

反复用分步积分法
∫x*e^（-2x）dx
=-1/2∫x*de^（-2x）
=-1/2xe^(-2x)+1/2∫e^（-2x）dx
=-1/2xe^(-2x)-1/4e^(-2x)+C

Answer 4

原式=-1/2∫x*e^(-2x)d(-2x)
=-1/2∫xde^(-2x)
=-1/2xde^(-2x)+1/2∫e^(-2x)dx
=-1/2xde^(-2x)-1/4∫e^(-2x)d(-2x)
=-1/2xde^(-2x)-1/4e^(-2x)+C
=-(2x+1)e^(-2x)/4+C

Answer 5

Sx*e^（-2x）dx
=-1/2*Sxd(e^(-2x)
=-1/2*xe^(-2x)+1/2*Se^(-2x)dx
=-1/2*xe^(-2x)-1/4*Se^(-2x)d(-2x)
=-1/2*xe^(-2x)-1/4*e^(-2x)+c