Question

已知函数f（x）＝（2+x+ax²）ln（1+x）2x

Answer 1

：（1）f‘（x）=2ax-2+1/x=（2ax²-2x+1）/x
因为若f(x)无极值点,所以其导函数恒非负或恒非正。所以其导函数至多有一零点
又题中说其有一零点，所以
2ax²-2x+1=0仅有一解
所以@=（-2）²-8a=0，a=1/2
（2）因为f(x)有两个极值点，所以2ax²-2x+1=0有两正解,设为c,d,且c<d

所以@=（-2）²-8a>0，c+d=1/a>0，cd=1/2a>0

得0<a<1/2.

易知f(x)在（0,c）增，（c，d）减，（d,无穷）增
所以极小值为f(d)=ad
²-2d+ind
又d为2ax²-2x+1=0的解,ad
²=(2d-1)/2代人
f(d)=(2d-1)/2-2d+ind=-1/2-2d+lnd
又c+d=1/a>2,所以d>1,所以lnd-d<0
所以f(d)<-1/2-d<-3/2.

Answer 2

f'(x)=1/(1+x)+ax-1=-x/(1+x)+ax=x[a-1/(1+x)]
x>0,
a=0时，
f'(x)=-x/(1+x)<0,
故函数单调减，f(1)=ln2-1a-1)=-lna+a/2(1/a-1)2-(1/a-1)=-lna-1/(2a)+a/2=g(a)
而g'(a)=-1/a+1/(2a2)+1/2=(a2-2a+1)/(2a2)=(a-1)2/(2a2)>=0
即g(a)单调增，g(1)=0,
因此在0=1时，
在f'(x)>=0,
函数单调增，最小值为f(0)=0,
符合题意；综合得：a>=1