Question

.已知函数.(1)讨论函数的极值点的个数

已知函数 ． （1）讨论函数 在定义域内的极值点的个数； （2）若函数 在 处取得极值，对 , 恒成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

已知函数 ． （1）讨论函数 在定义域内的极值点的个数； （2）若函数 在 处取得极值，对 , 恒成立，求实数 的取值范围. （Ⅰ）当 时 在 上没有极值点，当 时， 在 上有一个极值点．（Ⅱ） ． 试题分析：（Ⅰ） ， 当 时， 在 上恒成立，函数 在 单调递减， ∴ 在 上没有极值点； 当 时， 得 ， 得 ， ∴ 在 上递减，在 上递增，即 在 处有极小值． ∴当 时 在 上没有极值点， 当 时， 在 上有一个极值点． （Ⅱ）∵函数 在 处取得极值，∴ ，∴ ， 令 ，可得 在 上递减，在 上递增， ∴ ，即 ． 点评：求可导函数的极值的基本步骤为：①求导函数 ；②求方程 =0的根；③检查 在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值．