Question

证明方程x=asinx+b（a，b＞0）至少有一个不超过a+b的正根．

Answer 1

证明：令f（x）=x-asinx-b，则f（x）在[0，a+b]上连续，且
f（0）=-b＜0，f（a+b）=（a+b）-asin（a+b）-b=a（1-sin（a+b））≥0，
（1）若f（a+b）=0，则x=a+b即为方程f（x）=x-asinx-b=0的根，
即x=asinx+b的根；
（2）若f（a+b）≠0，则有f（a+b）＞0，f（x）在[0，a+b]上满足零点定理的条件，
所以方程f（x）=x-asinx-b=0在（0，a+b）内至少存在一个实根．
由（1）（2）知，方程x=asinx+b至少有一个不超过a+b的正根．